Доказать, что: если a < b < 0, то a/2 >b/2

Чтобы доказать, что если \( a < b < 0 \), то \( \frac{a}{2} > \frac{b}{2} \), начнем с того, что \( a \) и \( b \) — это отрицательные числа.

1. Из условия \( a < b < 0 \) мы знаем, что \( a \) меньше \( b \). Это значит, что если мы прибавим одинаковое значение к обеим сторонам неравенства, то знак неравенства сохранится. Например, если мы добавим \( 0 \) (что фактически не изменит ни \( a \), ни \( b \)), получим, что \( a + 0 < b + 0 \) или просто \( a < b \).

2. Теперь разделим обе стороны полученного неравенства на \( 2 \). Заметьте, что деление на положительное число не изменяет знак неравенства. При этом у нас получится: \[ \frac{a}{2} < \frac{b}{2} \]

3. Однако, чтобы получить нужное нам неравенство, мы можем переместить все в другую сторону. Из первого шага мы имеем, что \( a < b \). Теперь, если умножим обе стороны на \( -1 \), знак неравенства изменится: \[ -a > -b \]

4. Разделив на \( 2 \) (при этом также изменяя знак): \[ -\frac{a}{2} > -\frac{b}{2} \]

5. Поскольку \( a < b < 0 \), то \( -a > -b > 0 \) также верно. Теперь мы возвращаемся к изначальному неравенству.

Таким образом, мы пришли к заключению, что \( \frac{a}{2} > \frac{b}{2} \) в соответствии с условиями, что \( a < b < 0 \). Это завершает наше доказательство.