X+4/x-4+x-4/x+4=10/3

Чтобы решить уравнение \( \frac{x + 4}{x - 4} + \frac{x - 4}{x + 4} = \frac{10}{3} \), начнем с объединения дробей и упрощения уравнения.

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей \( \frac{x + 4}{x - 4} \) и \( \frac{x - 4}{x + 4} \) будет равен \( (x - 4)(x + 4) \).

2. Умножим каждую дробь на соответствующий множитель, чтобы получить общий знаменатель: \[ \frac{(x + 4)(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} + \frac{(x - 4)(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} = \frac{10}{3} \]

3. Упростим каждую дробь: \[ \frac{(x + 4)^2 + (x - 4)^2}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{10}{3} \]

4. Раскроем скобки: \[ (x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16 \] \[ (x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16 \]

5. Складываем обе части: \[ x^2 + 8x + 16 + x^2 - 8x + 16 = 2x^2 + 32 \]

6. Теперь подставим это в наше уравнение: \[ \frac{2x^2 + 32}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{10}{3} \]

7. Умножим обе стороны на \( 3(x - 4)(x + 4) \): \[ 3(2x^2 + 32) = 10(x^2 - 16) \]

8. Раскроем скобки и упростим: \[ 6x^2 + 96 = 10x^2 - 160 \]

9. Переносим все элементы на одну сторону: \[ 0 = 10x^2 - 6x^2 - 160 - 96 \] \[ 0 = 4x^2 - 256 \] \[ 4x^2 = 256 \] \[ x^2 = 64 \] \[ x = 8 \quad \text{или} \quad x = -8 \]

10. Проверим оба решения, подставив их обратно в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они подходят.

Таким образом, решения уравнения: \( x = 8 \) и \( x = -8 \). Если остались вопросы, не стесняйтесь спрашивать!