4cos²x-8cos x+3=0
Чтобы решить уравнение \(4\cos^2 x - 8\cos x + 3 = 0\), давайте начнем с замены \(y = \cos x\). Таким образом, уравнение становится:
\[ 4y^2 - 8y + 3 = 0. \]
Теперь мы можем воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \(a = 4\), \(b = -8\) и \(c = 3\). Подставим эти значения в формулу:
\[ y = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4}. \]
Выполним вычисления:
- Найдем дискриминант:
\[ (-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 64 - 48 = 16. \]
- Теперь подставим дискриминант обратно в формулу:
\[ y = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{8}. \]
- Вычислим корень из 16:
\[ y = \frac{8 \pm 4}{8}. \]
Теперь у нас есть два значение для \(y\):
\(y_1 = \frac{8 + 4}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}\) (это решение не подходит, так как \(\cos x\) не может превышать 1).
\(y_2 = \frac{8 - 4}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.\)
Теперь у нас есть значение \(\cos x = \frac{1}{2}\). Находим \(x\):
\(\cos x = \frac{1}{2}\) соответствует углам:
\[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \]
где \(k \in \mathbb{Z}\).
Таким образом, решения данного уравнения:
\[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi. \]
Если будут еще вопросы или понадобится дополнительная помощь, не стесняйтесь спрашивать!
