3cos² x+10cos x+7=0 алгебра 11 класс полное решение

Чтобы решить уравнение \(3\cos^2 x + 10\cos x + 7 = 0\), давайте обозначим \(y = \cos x\). Теперь у нас есть квадратное уравнение:

\[ 3y^2 + 10y + 7 = 0 \]

Мы можем решить его, используя формулу для корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]

Здесь \(a = 3\), \(b = 10\), \(c = 7\). Подставим эти значения в формулу:

1. Сначала вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 100 - 84 = 16 \]

2. Теперь, используя дискриминант, находим корни:

\[ y_1 = \frac{{-10 + \sqrt{16}}}{6} = \frac{{-10 + 4}}{6} = \frac{{-6}}{6} = -1 \]

\[ y_2 = \frac{{-10 - \sqrt{16}}}{6} = \frac{{-10 - 4}}{6} = \frac{{-14}}{6} = -\frac{7}{3} \]

Теперь рассмотрим полученные значения \(y\):

1. \(y_1 = -1\):

   • Это значение допустимо, так как \(-1 \leq \cos x \leq 1\).
   • Решим уравнение \(\cos x = -1\). Это происходит, когда: \[ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2. \(y_2 = -\frac{7}{3}\):

   • Это значение недопустимо, так как \(\cos x\) не может быть меньше \(-1\).

Таким образом, единственным решением исходного уравнения \(3\cos^2 x + 10\cos x + 7 = 0\) является:

\[ x = \pi + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Эти результаты показывают, как решать уравнение на основе тригонометрических функций. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!