3cos² x+10cos x+10cos x+7=0

Для решения уравнения \(3\cos^2 x + 10\cos x + 10\cos x + 7 = 0\), сначала упростим его:

Объединим одинаковые слагаемые: \[ 3\cos^2 x + 20\cos x + 7 = 0 \]

Теперь обозначим \(y = \cos x\). Тогда уравнение можно переписать как: \[ 3y^2 + 20y + 7 = 0 \]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = 20\), \(c = 7\).

Сначала находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 20^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 400 - 84 = 316 \]

Теперь подставим дискриминант в формулу: \[ y = \frac{-20 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 3} \] \[ y = \frac{-20 \pm 2\sqrt{79}}{6} \] \[ y = \frac{-10 \pm \sqrt{79}}{3} \]

Теперь у нас есть два возможных значения для \(y\):

1. \( y_1 = \frac{-10 + \sqrt{79}}{3} \)
2. \( y_2 = \frac{-10 - \sqrt{79}}{3} \)

Теперь нужно проверить, соответствует ли каждое значение допустимому диапазону для \(\cos x\). Поскольку \(\cos x\) всегда находится в диапазоне от -1 до 1, мы проверим каждое значение.

1. Значение \(y_1 = \frac{-10 + \sqrt{79}}{3}\):

   • Вычислим: \(\sqrt{79} \approx 8.89\), тогда \(y_1 \approx \frac{-10 + 8.89}{3} = \frac{-1.11}{3} \approx -0.37\), что лежит в пределах [-1, 1].

2. Значение \(y_2 = \frac{-10 - \sqrt{79}}{3}\):

   • Это значение всегда будет меньше -1, поэтому его мы не рассматриваем.

Теперь можно найти значение угла \(x\) для полученного значения \(y_1\): \(\cos x = -0.37\).

Угол \(x\) можно найти с помощью обратной функцией косинуса: \[ x = \arccos(-0.37) \]

Таким образом, мы можем находить решения в различных квадрантах, помня, что \(\cos\) негативный во втором и третьем квадранте.

Ответ: \(x = \arccos(-0.37) + 2k\pi\) и \(x = -\arccos(-0.37) + 2k\pi\) для \(k \in \mathbb{Z}\).