Используя теорему обратную теорему Виета найдите корни квадратного уравнения x в квадрате -(√2+3)х+3√2=0

Для нахождения корней квадратного уравнения \(x^2 - (\sqrt{2} + 3)x + 3\sqrt{2} = 0\) можно использовать теорему Виета, но в обратном порядке. Прежде всего, вспомним, что общая форма квадратного уравнения выглядит так: \[ ax^2 + bx + c = 0 \] В нашем случае \(a = 1\), \(b = -(\sqrt{2} + 3)\), \(c = 3\sqrt{2}\). Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) суммы корней \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) и произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\). Подставим значения для \(b\) и \(c\): 1. Сумма корней: \[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-(\sqrt{2} + 3)}{1} = \sqrt{2} + 3 \] 2. Произведение корней: \[ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3\sqrt{2}}{1} = 3\sqrt{2} \] Теперь у нас есть система уравнений: - \(x_1 + x_2 = \sqrt{2} + 3\) - \(x_1 \cdot x_2 = 3\sqrt{2}\) Теперь мы можем обозначить \(x_1\) и \(x_2\) как решения, и выразить одно из них через другое. Предположим, что \(x_1 = x\), тогда: \[ x_2 = \sqrt{2} + 3 - x \] Теперь подставим \(x_2\) в уравнение для произведения: \[ x \cdot (\sqrt{2} + 3 - x) = 3\sqrt{2} \] Раскроем скобки: \[ x(\sqrt{2} + 3) - x^2 = 3\sqrt{2} \] Перепишем уравнение: \[ -x^2 + x(\sqrt{2} + 3) - 3\sqrt{2} = 0 \] Умножим на -1: \[ x^2 - (\sqrt{2} + 3)x + 3\sqrt{2} = 0 \] Теперь это уравнение можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Подставляем значения \(a = 1\), \(b = -(\sqrt{2} + 3)\), \(c = 3\sqrt{2}\): \[ x = \frac{(\sqrt{2} + 3) \pm \sqrt{(-(\sqrt{2} + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3\sqrt{2}}}{2 \cdot 1} \] Теперь считаем дискриминант: \[ D = (\sqrt{2} + 3)^2 - 12\sqrt{2} \] Вычисим \((\sqrt{2} + 3)^2\): \[ D = (2 + 6\sqrt{2} + 9) - 12\sqrt{2} = 11 - 6\sqrt{2} \] Теперь можем найти корни, подставив дискриминант обратно в формулу: \[ x = \frac{\sqrt{2} + 3 \pm \sqrt{11 - 6\sqrt{2}}}{2} \] Таким образом, корни квадратного уравнения \(x^2 - (\sqrt{2} + 3)x + 3\sqrt{2} = 0\) будут: 1. \(x_1 = \frac{\sqrt{2} + 3 + \sqrt{11 - 6\sqrt{2}}}{2}\) 2. \(x_2 = \frac{\sqrt{2} + 3 - \sqrt{11 - 6\sqrt{2}}}{2}\) Если у вас остались вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!