В треугольнике АВС АС-10см, А=75°, ∠C=45° Найдите АВ и площадь треугольника

Чтобы найти стороны треугольника ABC и его площадь, мы можем воспользоваться законами синусов и формулой для вычисления площади.

1. Определение угла B: Сумма углов в треугольнике равна 180°. В нашем случае: \[ B = 180° - A - C = 180° - 75° - 45° = 60°. \]

2. Нахождение стороны AB: Мы можем воспользоваться законом синусов: \[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B}. \] Подставляя известные значения: \[ \frac{AB}{\sin 45°} = \frac{10}{\sin 60°}. \] Мы знаем, что \(\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}\) и \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим их: \[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. \] Умножим обе стороны на \(\frac{\sqrt{2}}{2}\): \[ AB = 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}}. \] Упрощаем: \[ AB \approx 8.16 \, \text{см}. \]

3. Нахождение площади треугольника: Площадь треугольника можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot AB \cdot \sin C. \] Подставим известные значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \sin 45°. \] Умножаем: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{100}{4\sqrt{3}} = \frac{25}{\sqrt{3}}. \] Примерно: \[ S \approx 14.43 \, \text{см}^2. \]

Итак, стороны и площадь треугольника следующие:

• Длина стороны AB примерно \(8.16 \, \text{см}\),
• Площадь треугольника примерно \(14.43 \, \text{см}^2\).