найдите углы четырёхугольника, если три его угла пропорциональны числам 4,5 и 7, а четвёртый угол равен их полусумме. Является ли этот четырёхугольник выпуклым.

Обозначим углы четырёхугольника как \( A \), \( B \), \( C \) и \( D \). Считаем, что углы \( A \), \( B \) и \( C \) пропорциональны 4, 5 и 7 соответственно. Пусть \( k \) — коэффициент пропорциональности. Тогда:

\[ A = 4k, \quad B = 5k, \quad C = 7k \]

Четвёртый угол \( D \) равен полусумме углов \( A \), \( B \) и \( C \):

\[ D = \frac{A + B + C}{2} = \frac{4k + 5k + 7k}{2} = \frac{16k}{2} = 8k \]

Согласно свойству углов четырёхугольника, сумма всех углов равна \( 360^\circ \):

\[ A + B + C + D = 360^\circ \]

Подставляя значения углов, получаем:

\[ 4k + 5k + 7k + 8k = 360^\circ \]

Соберём подобные:

\[ (4k + 5k + 7k + 8k) = 24k \]

Таким образом, у нас есть уравнение:

\[ 24k = 360^\circ \]

Теперь находим \( k \):

\[ k = \frac{360^\circ}{24} = 15^\circ \]

Теперь можем найти углы \( A \), \( B \), \( C \) и \( D \):

\[ A = 4k = 4 \times 15^\circ = 60^\circ \] \[ B = 5k = 5 \times 15^\circ = 75^\circ \] \[ C = 7k = 7 \times 15^\circ = 105^\circ \] \[ D = 8k = 8 \times 15^\circ = 120^\circ \]

Таким образом, углы четырёхугольника равны:

• \( A = 60^\circ \)
• \( B = 75^\circ \)
• \( C = 105^\circ \)
• \( D = 120^\circ \)

Теперь проверим, является ли четырёхугольник выпуклым. Четырёхугольник является выпуклым, если все его углы меньше \( 180^\circ \). В данном случае все углы меньше \( 180^\circ \):

• \( 60^\circ < 180^\circ \)
• \( 75^\circ < 180^\circ \)
• \( 105^\circ < 180^\circ \)
• \( 120^\circ < 180^\circ \)

Следовательно, четырёхугольник является выпуклым.

Ответ: Углы четырёхугольника равны \( 60^\circ, 75^\circ, 105^\circ, 120^\circ \). Четырёхугольник является выпуклым.