В группе из 35 студентов в сессию пятерки по физике получили 14 человек; по математике - 12; по истории - 23. По физике и математике - 4; по математике и истории - 9; по физике и истории - 5. Сколько студентов получили пятерки по всем трем предметам, если в группе нет ни одного студента, не имеющего пятерки хотя бы по одному из этих предметов?
Для решения данной задачи воспользуемся принципом включения-исключения.
Обозначим:
- \( |A| \) — количество студентов, получивших пятерки по физике (14 человек).
- \( |B| \) — количество студентов, получивших пятерки по математике (12 человек).
- \( |C| \) — количество студентов, получивших пятерки по истории (23 человека).
Также введем:
- \( |A \cap B| \) — количество студентов, получивших пятерки по физике и математике (4 человека).
- \( |B \cap C| \) — количество студентов, получивших пятерки по математике и истории (9 человек).
- \( |A \cap C| \) — количество студентов, получивших пятерки по физике и истории (5 человек).
- \( |A \cap B \cap C| \) — количество студентов, получивших пятерки по всем трем предметам (то, что мы ищем).
По формуле включения-исключения для трех множеств получаем:
\[ |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| \]
Подставим известные значения:
\[ |A \cup B \cup C| = 14 + 12 + 23 - 4 - 9 - 5 + |A \cap B \cap C| \]
Сложим: \[ |A \cup B \cup C| = 49 - 18 + |A \cap B \cap C| = 31 + |A \cap B \cap C| \]
Так как в группе 35 студентов, и по условию задачи все студенты имеют пятерки хотя бы по одному предмету, то:
\[ |A \cup B \cup C| = 35 \]
Теперь приравняем и решим уравнение:
\[ 31 + |A \cap B \cap C| = 35 \]
\[ |A \cap B \cap C| = 35 - 31 = 4 \]
Таким образом, количество студентов, получивших пятерки по всем трем предметам, составляет 4 человека.
