Решите квадратное уравнение: а) x²+x=0 б) x²-4x+3=0 в) 5x²+14x-3=0 г) x²-2x-2=0

Давайте решим каждое из представленных квадратных уравнений по порядку.

а) \(x² + x = 0\)

Для решения этого уравнения можно вынести \(x\) за знак суммы: \[ x(x + 1) = 0 \] Теперь, используя нулевую переменную, получаем два решения: \[ x = 0 \quad \text{или} \quad x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \] Итак, решения: \(x = 0\) и \(x = -1\).

б) \(x² - 4x + 3 = 0\)

Это уравнение можно решить с помощью формулы дискриминанта. Сначала найдем дискриминант \(D\): \[ D = b² - 4ac = (-4)² - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \] Так как \(D > 0\), уравнение имеет два действительных корня: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 2}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 2}{2} = 1 \] Решения: \(x = 3\) и \(x = 1\).

в) \(5x² + 14x - 3 = 0\)

Снова используем формулу дискриминанта: \[ D = b² - 4ac = (14)² - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256 \] Так как \(D > 0\), уравнение также имеет два действительных корня: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 + 16}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 - 16}{10} = \frac{-30}{10} = -3 \] Решения: \(x = \frac{1}{5}\) и \(x = -3\).

г) \(x² - 2x - 2 = 0\)

Снова применяем дискриминант: \[ D = b² - 4ac = (-2)² - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 4 + 8 = 12 \] Дискриминант положителен, это значит, что уравнение имеет два корня: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 2\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3} \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 2\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3} \] Решения: \(x = 1 + \sqrt{3}\) и \(x = 1 - \sqrt{3}\).

Итак, итоговые решения для всех уравнений:

а) \(x = 0\) и \(x = -1\)

б) \(x = 3\) и \(x = 1\)

в) \(x = \frac{1}{5}\) и \(x = -3\)

г) \(x = 1 + \sqrt{3}\) и \(x = 1 - \sqrt{3}\)