представьте выражении в виде произведения: 81а²-16(2а-3в)²
Чтобы представить выражение \( 81a^2 - 16(2a - 3b)^2 \) в виде произведения, давайте начнем с упрощения.
Сначала раскроем скобки в выражении \( -16(2a - 3b)^2 \). Для этого используем формулу разности квадратов: \[ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \] Здесь \( x = 2a \) и \( y = 3b \), следовательно: \[ (2a - 3b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot (2a) \cdot (3b) + (3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2 \]
Теперь подставим это в наше выражение: \[ -16(2a - 3b)^2 = -16(4a^2 - 12ab + 9b^2) = -64a^2 + 192ab - 144b^2 \]
Таким образом, теперь мы можем переработать первоначальное выражение: \[ 81a^2 - 16(2a - 3b)^2 = 81a^2 - (-64a^2 + 192ab - 144b^2) = 81a^2 + 64a^2 - 192ab + 144b^2 \] Это упрощается до: \[ (81 + 64)a^2 - 192ab + 144b^2 = 145a^2 - 192ab + 144b^2 \]
Далее, представим его как квадратный трёхчлен. Чтобы это сделать, заметим, что выражение можно записать в виде: \[ (pa + qb)^2 \] Теперь давайте найдём \( p \) и \( q \): \[ pa + qb = \sqrt{145}a - \sqrt{144}b = \sqrt{145}a - 12b \] Сравнив это с члены оригинального выражения, мы получаем: \[ (12b + \sqrt{145}a)^2 = (144b^2 + 24\sqrt{145}ab + 145a^2) \] Определительно \( 192 \) вместо \( 24\sqrt{145} \) не совсем подходит.
Таким образом, окончательно представление этого выражения в виде произведения будет следующим: \[ (9a - 4(2a - 3b))(9a + 4(2a - 3b)) \] или более удобно: \[ (9a - 8a + 12b)(9a + 8a - 12b) \] В результате: \[ (1a + 12b)(17a - 12b) \]
Такое представление является более удобным и позволяет легко манипулировать с выражением.
