решите уравнение (х-2)/(х 1)-5/(1-х)=(х² 27)/(х²-1)

Давайте решим уравнение

\[ \frac{x-2}{x+1} - \frac{5}{1-x} = \frac{x^2 + 27}{x^2 - 1}. \]

Сначала упростим выражение. Заметим, что \(1 - x = -(x - 1)\), значит можно переписать вторую дробь:

\[ \frac{5}{1-x} = -\frac{5}{x-1}. \]

Теперь уравнение можно переписать следующим образом:

\[ \frac{x-2}{x+1} + \frac{5}{x-1} = \frac{x^2 + 27}{x^2 - 1}. \]

Обратите внимание, что \(x^2 - 1\) можно разложить на множители как \((x - 1)(x + 1)\).

Теперь найдем общий знаменатель для левой части уравнения. Общим знаменателем будет \((x + 1)(x - 1)\):

\[ \frac{(x-2)(x-1) + 5(x+1)}{(x + 1)(x - 1)}. \]

Упрощаем числитель:

\[ (x-2)(x-1) = x^2 - x - 2x + 2 = x^2 - 3x + 2, \] \[ 5(x+1) = 5x + 5. \] Сложим их:

\[ x^2 - 3x + 2 + 5x + 5 = x^2 + 2x + 7. \]

Теперь мы имеем:

\[ \frac{x^2 + 2x + 7}{(x + 1)(x - 1)} = \frac{x^2 + 27}{(x - 1)(x + 1)}. \]

Теперь равенство можно записать без общих знаменателей, и мы можем приравнять числители:

\[ x^2 + 2x + 7 = x^2 + 27. \]

Упростим:

\[ 2x + 7 = 27. \]

Решим это уравнение:

\[ 2x = 27 - 7, \] \[ 2x = 20, \] \[ x = 10. \]

Теперь проверим, не приведет ли найденное значение к неопределенности. Подставляем \(x = 10\) в исходное уравнение, чтобы убедиться, что ни один из знаменателей не равен нулю.

\((10+1) \neq 0\) и \((1-10) \neq 0\), значит решение допустимо.

Таким образом, \(x = 10\) является единственным решением уравнения.