Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите, на сколько радиус описанной около него окружности больше радиуса вписанной окружности.

Для решения задачи сначала найдем радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника.

Обозначим катеты треугольника как \( a = 20 \) и \( b = 21 \). Гипотенуза \( c \) вычисляется по теореме Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{20^2 + 21^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29. \]

Теперь найдем радиус вписанной окружности \( r \). Формула для радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника:

\[ r = \frac{a + b - c}{2}. \]

Подставляя значения, получаем:

\[ r = \frac{20 + 21 - 29}{2} = \frac{12}{2} = 6. \]

Теперь найдем радиус описанной окружности \( R \). Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине длины гипотенузы:

\[ R = \frac{c}{2} = \frac{29}{2} = 14.5. \]

Теперь мы можем найти разницу между радиусом описанной и радиусом вписанной окружности:

\[ R - r = 14.5 - 6 = 8.5. \]

Таким образом, радиус описанной окружности больше радиуса вписанной окружности на \( 8.5 \).