x²-6x-7≥0
Чтобы решить неравенство \( x^2 - 6x - 7 \geq 0 \), нужно сначала найти корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 6x - 7 = 0 \). Это можно сделать с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -6 \), \( c = -7 \).
Подставляем значения в формулу:
\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \]
Так как дискриминант больше нуля, у уравнения есть два различных корня. Находим их с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 8}{2} \]
Теперь находим корни:
- \( x_1 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
- \( x_2 = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
Таким образом, корни произведения: \( x_1 = 7 \) и \( x_2 = -1 \).
Теперь мы можем строить числовую прямую и обозначить корни:
- Корень \( -1 \) разделяет промежутки: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 7) \), \( (7, +\infty) \).
Следующий шаг — определим знаки выражения \( x^2 - 6x - 7 \) на каждом из этих промежутков:
Для \( x < -1 \) (например, \( x = -2 \)): \[ (-2)^2 - 6(-2) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 \quad (\text{положительно}) \]
Для \( -1 < x < 7 \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 - 6(0) - 7 = -7 \quad (\text{отрицательно}) \]
Для \( x > 7 \) (например, \( x = 8 \)): \[ 8^2 - 6(8) - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 \quad (\text{положительно}) \]
Таким образом, мы имеем:
- На промежутке \( (-\infty, -1) \) и \( (7, +\infty) \) выражение положительно (\( \geq 0 \)).
- На промежутке \( (-1, 7) \) выражение отрицательно.
Теперь необходимо включить корни \( -1 \) и \( 7 \) в ответ, так как мы решаем неравенство с условием \( \geq 0 \).
Итак, решение неравенства будет:
\[ x \in (-\infty, -1] \cup [7, +\infty) \]
