Докажите что если a,b,c положительные числа, и a>b ,то 1)a+c/b+c b/a

Для доказательства данных неравенств воспользуемся свойствами чисел и неравенств.

Доказательство первого неравенства:

1. Нам нужно показать, что \(\frac{a+c}{b+c} < \frac{a}{b}\).
2. Начнем с преобразования данного неравенства: \[ \frac{a+c}{b+c} < \frac{a}{b} \implies (a+c)b < (b+c)a \] Умножив обе стороны на \(b(b+c)\) (положительное число), получим: \[ (a+c)b < (b+c)a \] Раскрываем скобки: \[ ab + bc < ab + ac \implies bc < ac \]
3. Так как \(a > b\) и \(c > 0\), мы можем выразить это так: \[ ab < ac \implies b < a, \] что верно, так как \(b\) и \(c\) положительные числа.

Таким образом, первое неравенство доказано: \[ \frac{a+c}{b+c} < \frac{a}{b}. \]

Доказательство второго неравенства:

1. Теперь покажем, что \(\frac{b+c}{a+c} > \frac{b}{a}\).
2. Перепишем это неравенство: \[ \frac{b+c}{a+c} > \frac{b}{a} \implies (b+c)a > (a+c)b \] Умножив обе стороны на \(a(a+c)\) (положительное число), получаем: \[ (b+c)a > (a+c)b. \] Раскрываем скобки: \[ ab + ac > ab + bc \implies ac > bc. \]
3. Поскольку мы знаем, что \(a > b\) и \(c > 0\), мы можем констатировать, что: \[ ac > bc \implies c(a-b) > 0. \]

Следовательно, и второе неравенство также доказано: \[ \frac{b+c}{a+c} > \frac{b}{a}. \]

Таким образом, оба неравенства выполнены.