Для решения задачи начнем с обозначения некоторых величин.
Обозначим скорость лодки относительно воды как ( v ) (км/ч). Тогда скорость лодки по течению будет ( v + 12 ) (км/ч), а против течения — ( v - 12 ) (км/ч).
По условию задачи:
- Лодка прошла 7 км по течению.
- Лодка прошла 10 км против течения.
- Время в пути по течению на 0,5 часа меньше, чем время в пути против течения.
Запишем формулы для времени:
Согласно условию, разница во времени составляет 0,5 часа:
[
t_2 - t_1 = 0.5
]
Подставим выражения для времени в уравнение:
[
\frac{10}{v - 12} - \frac{7}{v + 12} = 0.5
]
Теперь умножим обе стороны на ( (v - 12)(v + 12) ) (наименьшее общее кратное):
[
10(v + 12) - 7(v - 12) = 0.5(v - 12)(v + 12)
]
Раскроем скобки:
[
10v + 120 - 7v + 84 = 0.5(v^2 - 144)
]
Упростим уравнение:
[
3v + 204 = 0.5v^2 - 72
]
Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дробей:
[
6v + 408 = v^2 - 144
]
Переносим все в одну сторону уравнения:
[
v^2 - 6v - 552 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 1, b = -6, c = -552 ).
Посчитаем дискриминант:
[
D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-552) = 36 + 2208 = 2244
]
Теперь находим корни:
[
v = \frac{6 \pm \sqrt{2244}}{2}
]
Вычислим ( \sqrt{2244} ):
[
\sqrt{2244} \approx 47.3
]
Подставляем обратно:
[
v = \frac{6 \pm 47.3}{2}
]
Находим два возможных значения:
- ( v_1 = \frac{53.3}{2} \approx 26.65 ) (положительное значение).
- ( v_2 = \frac{-41.3}{2} \approx -20.65 ) (отрицательное значение, не подходит).
Следовательно, скорость хода лодки против течения:
[
v - 12 \approx 26.65 - 12 \approx 14.65 \text{ км/ч}
]
Таким образом, скорость лодки против течения составляет примерно 14.65 км/ч.
