x²+x-20/x²-6x+9>0
Чтобы решить неравенство \(\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} > 0\), начнем с анализа числителя и знаменателя.
Факторизация:
Числитель: \(x^2 + x - 20\) можно разложить на множители. Нам нужно найти такие два числа, которые в сумме дают 1 (коэффициент при \(x\)), а в произведении -20. Это числа 5 и -4. Поэтому: \[ x^2 + x - 20 = (x - 4)(x + 5) \]
Знаменатель: \(x^2 - 6x + 9\) также можно разложить на множители. Это полный квадрат: \[ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \]
Приведение к простому виду: Теперь можно записать неравенство в следующем виде: \[ \frac{(x - 4)(x + 5)}{(x - 3)^2} > 0 \]
Нахождение нулей: Нули числителя:
- \(x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4\)
- \(x + 5 = 0 \Rightarrow x = -5\)
Нули знаменателя (где он равен нулю и поэтому определение неравенства не верно):
- \( (x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3\)
Построим числовую прямую: Теперь у нас есть ключевые точки: \(-5\), \(3\), \(4\). На числовой прямой эти точки делят ее на следующие промежутки:
- \((- \infty, -5)\)
- \((-5, 3)\)
- \((3, 4)\)
- \((4, +\infty)\)
Определение знаков на промежутках: Теперь проверим знак дроби на каждом из этих промежутков:
Для \(x < -5\) (например, \(x = -6\)): \(\frac{(-)(-)}{(+)} > 0\) (положительно)
Для \(-5 < x < 3\) (например, \(x = 0\)): \(\frac{(-)(+)}{(+)} < 0\) (отрицательно)
Для \(3 < x < 4\) (например, \(x = 3.5\)): \(\frac{(-)(+)}{(+)} < 0\) (отрицательно)
Для \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \(\frac{(+)(+)}{(+)} > 0\) (положительно)
Результаты: Из анализа промежутков видно, что неравенство выполняется на промежутках: \[ (-\infty, -5) \quad \text{и} \quad (4, +\infty) \]
Итог: Решение неравенства \(\frac{x^2 + x - 20}{x^2 - 6x + 9} > 0\) будет: \[ x \in (-\infty, -5) \cup (4, +\infty) \]
Таким образом, вы можете записать ответ в виде промежутков. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснить какие-то моменты подробнее, не стесняйтесь обращаться!
