сколько сторон имеет выпуклыф многоугольник,каждый каждый угол которого равен а)90° б)60° в)120° г)108°
Чтобы определить, сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен заданному значению, мы можем воспользоваться формулой для суммы внутренних углов многоугольника:
\[ S = (n - 2) \times 180^\circ, \]
где \( S \) — сумма внутренних углов, а \( n \) — количество сторон многоугольника.
Кроме того, внутренний угол \( \alpha \) в многоугольнике может быть вычислен по формуле:
\[ \alpha = \frac{S}{n} = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}. \]
Сравнив это с данным углом, мы получаем уравнение:
\[ \alpha = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}. \]
Теперь решим для каждого случая:
а) Когда угол равен 90°:
\[ 90 = \frac{(n - 2) \times 180}{n}. \] Перемножим обе стороны на \( n \):
\[ 90n = (n - 2) \times 180. \]
Раскроем скобки:
\[ 90n = 180n - 360. \] Приведем подобные:
\[ 90n - 180n = -360, \] \[ -90n = -360, \] \[ n = 4. \]
Так что многоугольник с углами 90° — это квадрат, он имеет 4 стороны.
б) Когда угол равен 60°:
\[ 60 = \frac{(n - 2) \times 180}{n}. \]
Умножаем на \( n \):
\[ 60n = (n - 2) \times 180. \] Раскроем скобки:
\[ 60n = 180n - 360. \] Приведем подобные:
\[ 60n - 180n = -360, \] \[ -120n = -360, \] \[ n = 3. \]
Это треугольник, у него 3 стороны.
в) Когда угол равен 120°:
\[ 120 = \frac{(n - 2) \times 180}{n}. \]
Умножаем на \( n \):
\[ 120n = (n - 2) \times 180. \] Раскроем скобки:
\[ 120n = 180n - 360. \] Приведем подобные:
\[ 120n - 180n = -360, \] \[ -60n = -360, \] \[ n = 6. \]
Это шестиугольник, у него 6 сторон.
г) Когда угол равен 108°:
\[ 108 = \frac{(n - 2) \times 180}{n}. \]
Умножаем на \( n \):
\[ 108n = (n - 2) \times 180. \] Раскроем скобки:
\[ 108n = 180n - 360. \] Приведем подобные:
\[ 108n - 180n = -360, \] \[ -72n = -360, \] \[ n = 5. \]
Это пятиугольник, у него 5 сторон.
Итак, резюмируя:
- Угол 90° — 4 стороны (квадрат).
- Угол 60° — 3 стороны (треугольник).
- Угол 120° — 6 сторон (шестиугольник).
- Угол 108° — 5 сторон (пятиугольник).
