Найти производную функции y=tg(3x-π\4), x0=π\12

Чтобы найти производную функции \( y = \tg(3x - \frac{\pi}{4}) \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{12} \), начнем с применения правила дифференцирования для тангенса.

1. Запишем производную тангенса: Производная функции \( y = \tg(u) \), где \( u \) — это функция от \( x \), равна \( y' = \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot u' \).

2. Найдём \( u \): Здесь \( u = 3x - \frac{\pi}{4} \).

3. Найдём производную \( u \): Производная \( u \) по \( x \) равна: \[ u' = 3. \]

4. Теперь можем вычислить производную \( y \): Подставим \( u \) и \( u' \) в формулу для производной: \[ y' = \frac{1}{\cos^2(3x - \frac{\pi}{4})} \cdot 3. \]

5. Теперь подставим значение \( x_0 = \frac{\pi}{12} \): Сначала вычислим \( 3x_0 - \frac{\pi}{4} \): \[ 3 \cdot \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = 0. \]

6. Теперь найдем \( \cos(0) \): \[ \cos(0) = 1 \quad \Rightarrow \quad \cos^2(0) = 1. \]

7. Подставляем это значение в производную: \[ y' = \frac{3}{\cos^2(0)} = \frac{3}{1} = 3. \]

Таким образом, производная функции \( y = \tg(3x - \frac{\pi}{4}) \) в точке \( x_0 = \frac{\pi}{12} \) равна \( 3 \).