x²+4x>5
Чтобы решить неравенство \( x^2 + 4x > 5 \), начнем с его упрощения.
Переносим 5 влево: \[ x^2 + 4x - 5 > 0 \]
Теперь мы можем решить квадратное уравнение \( x^2 + 4x - 5 = 0 \) для нахождения корней. Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -5 \).
Подставляем значения: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-4 \pm 6}{2} \]
Находим корни: \[ x_1 = \frac{-4 + 6}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4 - 6}{2} = -5 \]
Теперь мы нашли корни уравнения: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -5 \).
Для определения знака квадратного трёхчлена \( x^2 + 4x - 5 \) на промежутках, разделённых корнями, рассмотрим интервалы:
- \( (-\infty, -5) \)
- \( (-5, 1) \)
- \( (1, +\infty) \)
Проверяем знак в каждом интервале:
- Для \( x < -5 \) (например, \( x = -6 \)): \[ (-6)^2 + 4(-6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7 > 0 \quad \Rightarrow \text{положительно} \]
- Для \( -5 < x < 1 \) (например, \( x = 0 \)): \[ 0^2 + 4(0) - 5 = -5 < 0 \quad \Rightarrow \text{отрицательно} \]
- Для \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)): \[ 2^2 + 4(2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7 > 0 \quad \Rightarrow \text{положительно} \]
Собираем результаты:
- Неравенство выполняется на интервалах \( (-\infty, -5) \) и \( (1, +\infty) \).
Таким образом, окончательный ответ: \[ x \in (-\infty, -5) \cup (1, +\infty) \]
