Первый член арифметической прогрессии равен 2. при каком значении разности прогрессии произведение ее пятого и седьмого членов имеет наименьшение значение

Чтобы решить задачу, давайте сначала обозначим элементы арифметической прогрессии. Первый член прогрессии \( a_1 \) равен 2, а разность прогрессии будем обозначать как \( d \).

Члены арифметической прогрессии можно записать следующим образом:

• Второй член: \( a_2 = a_1 + d = 2 + d \)
• Третий член: \( a_3 = a_1 + 2d = 2 + 2d \)
• Четвёртый член: \( a_4 = a_1 + 3d = 2 + 3d \)
• Пятый член: \( a_5 = a_1 + 4d = 2 + 4d \)
• Седьмой член: \( a_7 = a_1 + 6d = 2 + 6d \)

Теперь найдем произведение пятого и седьмого членов: \[ P = a_5 \cdot a_7 = (2 + 4d)(2 + 6d) \] Раскроем скобки: \[ P = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 6d + 4d \cdot 2 + 4d \cdot 6d = 4 + 12d + 8d + 24d^2 = 4 + 20d + 24d^2 \] Таким образом, мы получили квадратное выражение: \[ P(d) = 24d^2 + 20d + 4 \] Для нахождения минимального значения этого выражения мы можем использовать формулу для координаты минимума параболы \( d = -\frac{b}{2a} \), где \( a = 24 \) и \( b = 20 \): \[ d = -\frac{20}{2 \cdot 24} = -\frac{20}{48} = -\frac{5}{12} \]

Таким образом, разность прогрессии \( d \) равна \( -\frac{5}{12} \) обеспечит наименьшее значение произведения пятого и седьмого членов арифметической прогрессии.