Вычислите углы между векторами а вектор {2;1;2} и координатными векторами

Чтобы вычислить углы между вектором \(\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\) и координатными векторами, необходимо использовать скалярное произведение векторов и формулу для нахождения угла между двумя векторами.

Сначала определим координатные векторы:

• \(\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) (вектор вдоль оси X)
• \(\mathbf{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\) (вектор вдоль оси Y)
• \(\mathbf{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) (вектор вдоль оси Z)

Формула для угла \(\theta\) между двумя векторами \(\mathbf{a}\) и \(\mathbf{b}\) выглядит так:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{||\mathbf{a}|| \, ||\mathbf{b}||} \]

где \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\) — скалярное произведение векторов, а \(||\mathbf{a}||\) и \(||\mathbf{b}||\) — длины (нормы) векторов.

Сначала найдем норму вектора \(\mathbf{a}\):

\[ ||\mathbf{a}|| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

Теперь вычислим углы между вектором \(\mathbf{a}\) и каждым из координатных векторов.

Угол с \(\mathbf{e}_1\)

Скалярное произведение:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_1 = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 2 \]

Длина вектора \(\mathbf{e}_1\):

\[ ||\mathbf{e}_1|| = 1 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ \cos(\theta_1) = \frac{2}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} \]

Находим угол:

\[ \theta_1 = \arccos\left(\frac{2}{3}\right) \]

Угол с \(\mathbf{e}_2\)

Скалярное произведение:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_2 = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = 1 \]

Длина вектора \(\mathbf{e}_2\):

\[ ||\mathbf{e}_2|| = 1 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ \cos(\theta_2) = \frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3} \]

Находим угол:

\[ \theta_2 = \arccos\left(\frac{1}{3}\right) \]

Угол с \(\mathbf{e}_3\)

Скалярное произведение:

\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{e}_3 = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 = 2 \]

Длина вектора \(\mathbf{e}_3\):

\[ ||\mathbf{e}_3|| = 1 \]

Теперь подставим в формулу:

\[ \cos(\theta_3) = \frac{2}{3 \cdot 1} = \frac{2}{3} \]

Находим угол:

\[ \theta_3 = \arccos\left(\frac{2}{3}\right) \]

Результаты

Таким образом, углы между вектором \(\mathbf{a}\) и координатными векторами:

• Угол с осью X (\(\theta_1\)): \(\theta_1 = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)\)
• Угол с осью Y (\(\theta_2\)): \(\theta_2 = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)\)
• Угол с осью Z (\(\theta_3\)): \(\theta_3 = \arccos\left(\frac{2}{3}\right)\)