X ey dy = (ey +1) dx

Чтобы решить уравнение \( x \, e^y \, dy = (e^y + 1) \, dx \), начнем с его упрощения.

1. Перепишем уравнение: \[ x \, e^y \, dy = (e^y + 1) \, dx \]

2. Разделим переменные, чтобы облегчить решение: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{e^y + 1}{x \, e^y} \]

3. Теперь упростим правую часть: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x \, e^y} \]

4. Теперь это уравнение можно записать как: \[ dy = \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x \, e^y}\right) dx \]

5. Теперь интегрируем обе стороны: \[ \int dy = \int \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x \, e^y}\right) dx \]

6. Интегрируя левую часть, получаем: \[ y = \ln |x| + C_1 \] где \(C_1\) - константа интегрирования.

7. Теперь интегрируем правую часть. Обединив результаты, получится после упрощений, что: \[ y = \ln |x| + C \] где \(C\) - это новая константа интегрирования, полученная из обоих интегралов.

На этом этапе вы получили общее решение данного уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!