дан прямоугольник со странами a=2,56+-0,005, в=1,2++-0,02. найдите его площадь и периметр
Чтобы найти площадь и периметр прямоугольника, заданного сторонами \(a\) и \(b\), воспользуемся следующими формулами:
Площадь прямоугольника (S): \[ S = a \times b \]
Периметр прямоугольника (P): \[ P = 2(a + b) \]
Дано:
- \(a = 2.56 \pm 0.005\)
- \(b = 1.2 \pm 0.02\)
Шаг 1: Вычисление площади
Сначала найдем площадь с учетом центральных значений сторон:
\[ S = 2.56 \times 1.2 \] \[ S = 3.072 \text{ (кв. единиц)} \]
Шаг 2: Вычисление периметра
Теперь посчитаем периметр:
\[ P = 2(2.56 + 1.2) \] \[ P = 2(3.76) \] \[ P = 7.52 \text{ (единиц)} \]
Шаг 3: Определение неопределенности площади и периметра
Для оценки неопределенности в площади и периметре используем метод дифференциалов. Неопределенности сторон можно учитывать как:
- \( \Delta a = 0.005 \)
- \( \Delta b = 0.02 \)
Неопределенность площади
\[ \frac{\Delta S}{S} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} \] Подставим значения: \[ \frac{\Delta S}{3.072} = \frac{0.005}{2.56} + \frac{0.02}{1.2} \]
Теперь посчитаем: \[ \frac{0.005}{2.56} \approx 0.001953 \quad \text{и} \quad \frac{0.02}{1.2} \approx 0.01667 \]
Сложим: \[ \frac{\Delta S}{3.072} \approx 0.001953 + 0.01667 \approx 0.018623 \] Теперь найдём \(\Delta S\): \[ \Delta S \approx 3.072 \times 0.018623 \approx 0.0572 \]
Неопределенность периметра
Похожим образом оценим неопределенность периметра: \[ \frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta a}{a} + \frac{\Delta b}{b} \] При этом будет: \[ \frac{\Delta P}{7.52} = \frac{0.005}{2.56} + \frac{0.02}{1.2} \approx 0.018623 \]
Теперь определим \(\Delta P\): \[ \Delta P \approx 7.52 \times 0.018623 \approx 0.139 \]
Итоговые результаты
Таким образом, площадь прямоугольника составляет \(S \approx 3.072 \pm 0.057 \, \text{(кв. единиц)}\), а периметр — \(P \approx 7.52 \pm 0.139 \, \text{(единиц)}\).
