Решите уравнение (2x-1)^4-(2x-1)^2=12

Давайте решим уравнение \( (2x-1)^4 - (2x-1)^2 = 12 \).

Для начала обозначим \( y = (2x-1)^2 \). Таким образом, наше уравнение можно переписать как:

\[ y^2 - y - 12 = 0. \]

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можем решить с помощью формулы дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac, \] где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -12 \). Подставим значения:

\[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49. \]

Теперь найдем корни уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 7}{2}. \]

Это дает нам два решения:

1. \( y_1 = \frac{1 + 7}{2} = 4 \)
2. \( y_2 = \frac{1 - 7}{2} = -3 \)

Теперь вернемся к переменной \( x \). Мы знаем, что \( y = (2x - 1)^2 \).

Для \( y_1 = 4 \):

\[ (2x - 1)^2 = 4. \]

Извлекаем квадратный корень:

\[ 2x - 1 = 2 \quad \text{или} \quad 2x - 1 = -2. \]

Решим оба уравнения:

1. Для \( 2x - 1 = 2 \): \[ 2x = 3 \] \[ x = \frac{3}{2}. \]

2. Для \( 2x - 1 = -2 \): \[ 2x = -1 \] \[ x = -\frac{1}{2}. \]

Теперь рассмотрим \( y_2 = -3 \). Поскольку \( (2x - 1)^2 \) не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных решений.

Таким образом, окончательные решения уравнения:

\[ x = \frac{3}{2} \quad \text{и} \quad x = -\frac{1}{2}. \]