Докажите,что середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллеограмма

Для доказательства того, что середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма, начнем с обозначения вершин четырёхугольника. Пусть вершины четырёхугольника обозначены как A, B, C и D. Обозначим середины сторон следующим образом:

• М - середина стороны AB
• N - середина стороны BC
• O - середина стороны CD
• P - середина стороны DA

Теперь покажем, что точки M, N, O и P образуют параллелограмм.

Согласно свойству середины отрезка, координаты середины отрезка можно выразить следующим образом:

• Координаты точки M (середина AB): \[ M\left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) \]

• Координаты точки N (середина BC): \[ N\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) \]

• Координаты точки O (середина CD): \[ O\left(\frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_C + y_D}{2}\right) \]

• Координаты точки P (середина DA): \[ P\left(\frac{x_D + x_A}{2}, \frac{y_D + y_A}{2}\right) \]

Теперь для доказательства, что фигура MNOP является параллелограммом, нужно показать, что векторы MN и OP равны, а также векторы NP и MO равны.

1. Вектор MN: \[ \overrightarrow{MN} = N - M = \left(\frac{x_B + x_C}{2} - \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} - \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{x_C - x_A}{2}, \frac{y_C - y_A}{2}\right) \]

2. Вектор OP: \[ \overrightarrow{OP} = P - O = \left(\frac{x_D + x_A}{2} - \frac{x_C + x_D}{2}, \frac{y_D + y_A}{2} - \frac{y_C + y_D}{2}\right) = \left(\frac{x_A - x_C}{2}, \frac{y_A - y_C}{2}\right) \]

Поскольку \(\overrightarrow{MN} = -\overrightarrow{OP}\), то векторы MN и OP равны по величине и противоположны по направлению.

Теперь найдем векторы NP и MO.

3. Вектор NP: \[ \overrightarrow{NP} = P - N = \left(\frac{x_D + x_A}{2} - \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_D + y_A}{2} - \frac{y_B + y_C}{2}\right) = \left(\frac{x_D + x_A - x_B - x_C}{2}, \frac{y_D + y_A - y_B - y_C}{2}\right) \]

4. Вектор MO: \[ \overrightarrow{MO} = O - M = \left(\frac{x_C + x_D}{2} - \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_C + y_D}{2} - \frac{y_A + y_B}{2}\right) = \left(\frac{x_C + x_D - x_A - x_B}{2}, \frac{y_C + y_D - y_A - y_B}{2}\right) \]

Сравнив векторы NP и MO, мы увидим, что они равны, что означает, что \(\overrightarrow{NP} = \overrightarrow{MO}\).

Таким образом, поскольку векторы противоположных сторон равны, фигура MNOP является параллелограммом. Мы доказали, что середины сторон выпуклого четырёхугольника действительно являются вершинами параллелограмма.