21/(x^2-4x+10) - x^2+4x=6

Решим уравнение:

\[ \frac{21}{x^2 - 4x + 10} - (x^2 + 4x) = 6. \]

Сначала перенесем все члены на одну сторону уравнения:

\[ \frac{21}{x^2 - 4x + 10} - (x^2 + 4x) - 6 = 0. \]

Теперь, чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на \(x^2 - 4x + 10\) (при условии, что \(x^2 - 4x + 10 \neq 0\)):

\[ 21 - (x^2 + 4x)(x^2 - 4x + 10) - 6(x^2 - 4x + 10) = 0. \]

Раскроем скобки:

\[ 21 - (x^4 - 4x^3 + 10x^2 + 4x^3 - 16x^2 + 40x) - (6x^2 - 24x + 60) = 0. \]

После упрощения получаем:

\[ 21 - x^4 + (10x^2 - 16x^2 - 6x^2) + (40x + 24x) - 60 = 0, \]

что приводит к:

\[ -x^4 - 12x^2 + 64 - 60 = 0, \]

или

\[ -x^4 - 12x^2 + 4 = 0. \]

Умножим все на -1:

\[ x^4 + 12x^2 - 4 = 0. \]

Теперь сделаем замену переменной: пусть \(y = x^2\). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 + 12y - 4 = 0. \]

Решим его с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 144 + 16 = 160. \]

Теперь решим уравнение для \(y\):

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{160}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{10}}{2} = -6 \pm 2\sqrt{10}. \]

Итак, у нас два значения для \(y\):

\[ y_{1} = -6 + 2\sqrt{10}, \quad y_{2} = -6 - 2\sqrt{10}. \]

Поскольку \(y = x^2\), отрицательные значения \(y_{2}\) не имеют смысла, поскольку \(x^2\) всегда неотрицательно.

Теперь найдём \(x\) из \(y_{1} = -6 + 2\sqrt{10}\):

\[ x^2 = -6 + 2\sqrt{10}, \]

откуда:

\[ x = \pm\sqrt{-6 + 2\sqrt{10}}. \]

Это и есть решение нашего уравнения.