Катер проходит расстояние между двумя населен- ными пунктами по реке вниз по течению за 8 часов, об- ратно за 12 часов. За сколько часов катер прошел бы то же расстояние в стоячей воде?
Для того чтобы решить эту задачу, давайте обозначим:
- \( d \) — расстояние между двумя населенными пунктами.
- \( v_b \) — скорость катера в стоячей воде.
- \( v_r \) — скорость течения реки.
Когда катер движется вниз по течению, его скорость будет равна \( v_b + v_r \). Когда он движется вверх по течению, скорость будет \( v_b - v_r \).
Согласно условиям задачи:
Вниз по течению: \[ d = (v_b + v_r) \cdot 8 \]
Вверх по течению: \[ d = (v_b - v_r) \cdot 12 \]
Поскольку расстояния равны, можно приравнять эти два выражения:
\[ (v_b + v_r) \cdot 8 = (v_b - v_r) \cdot 12 \]
Теперь раскроем скобки:
\[ 8v_b + 8v_r = 12v_b - 12v_r \]
Переносим все члены с \( v_b \) в одну сторону, а члены с \( v_r \) — в другую:
\[ 8v_r + 12v_r = 12v_b - 8v_b \]
Это упрощается до:
\[ 20v_r = 4v_b \]
Или:
\[ v_b = 5v_r \]
Теперь подставим \( v_b \) обратно в одно из уравнений для расстояния \( d \). Подставляя в уравнение для движения вниз по течению, получаем:
\[ d = (5v_r + v_r) \cdot 8 = 6v_r \cdot 8 = 48v_r \]
Теперь подставляем \( v_b \) в уравнение для движения вверх по течению:
\[ d = (5v_r - v_r) \cdot 12 = 4v_r \cdot 12 = 48v_r \]
Теперь мы знаем, что \( d = 48v_r \).
Теперь найдем, за сколько часов катер пройдет это расстояние в стоячей воде. В стоячей воде катер будет двигаться с постоянной скоростью \( v_b = 5v_r \):
Время, чтобы пройти расстояние \( d = 48v_r \) со скоростью \( 5v_r \):
\[ t = \frac{d}{v_b} = \frac{48v_r}{5v_r} = \frac{48}{5} = 9.6 \text{ часов} \]
Таким образом, катер прошел бы то же расстояние в стоячей воде за \( 9.6 \) часов.
