упростить выражения cos (2 arctg x)

Для упрощения выражения \(\cos(2 \arctan(x))\) можно воспользоваться формулой двойного угла для косинуса:

\[ \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) \]

Здесь \(\theta = \arctan(x)\). Теперь найдем \(\cos(\theta)\) и \(\sin(\theta)\).

Если \(\theta = \arctan(x)\), это означает, что:

• \(\tan(\theta) = x\)
• В треугольнике с углом \(\theta\) с противолежащей стороной \(x\) и прилежащей стороной \(1\) (катетами), гипотенуза по теореме Пифагора равна \(\sqrt{x^2 + 1}\).

Теперь можем найти: \[ \sin(\theta) = \frac{\text{противолежащая}}{\text{гипотенуза}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \] \[ \cos(\theta) = \frac{\text{прилежащая}}{\text{гипотенуза}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \]

Теперь подставим \(\sin(\theta)\) и \(\cos(\theta)\) в формулу для \(\cos(2\theta)\):

\[ \cos(2\arctan(x)) = \cos^2(\arctan(x)) - \sin^2(\arctan(x)) = \left(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)^2 - \left(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)^2 \]

Это можно упростить:

\[ = \frac{1}{x^2 + 1} - \frac{x^2}{x^2 + 1} = \frac{1 - x^2}{x^2 + 1} \]

Таким образом, выражение \(\cos(2 \arctan(x))\) упрощается до:

\[ \cos(2 \arctan(x)) = \frac{1 - x^2}{x^2 + 1} \]

Если есть дополнительные вопросы или необходимо дальнейшее разъяснение, не стесняйтесь спрашивать!