Сколько шестизначных чисел, в которых две 2, две 3 и нет 0
Чтобы найти количество шестизначных чисел, состоящих из двух двоек, двух троек и двух других различных цифр (при условии, что ноль не используется), начнем с определения возможных комбинаций цифр и их размещения.
Выбор других цифр: Мы должны выбрать 2 разные цифры из оставшихся цифр (1, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Всего для выбора доступно 8 цифр. Число способов выбрать 2 цифры из 8 можно вычислить с помощью формулы сочетаний: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] Таким образом, мы получаем: \[ C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28. \]
Распределение выбранных цифр: После выбора 2 цифр, у нас будет следующая структура чисел: 2 двоек (2), 2 троек (3) и 2 других цифры (предположим, что они A и B, где A и B – выбранные нами другие цифры). Теперь общее количество цифр равно 6 (2, 2, 3, 3, A, B). Чтобы найти количество уникальных перестановок этих шести цифр, мы можем воспользоваться формулой перестановок с повторениями: \[ \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3! \cdot n_4!} \] Здесь \( n = 6 \) (всего цифр), \( n_1 = 2 \) (для двоек), \( n_2 = 2 \) (для троек), \( n_3 = 1 \) (для первой другой цифры A), \( n_4 = 1 \) (для второй другой цифры B). Итак: \[ \frac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{720}{2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{720}{4} = 180. \]
Общее количество чисел: Умножим количество способов выбрать 2 другие цифры (28) на количество перестановок для каждой выбранной группы цифр (180): \[ 28 \times 180 = 5040. \]
Таким образом, общее количество шестизначных чисел, содержащих две двоек и две тройки, а также две другие различные цифры (без нуля) составляет 5040.
