У одного книголюба 6 книг, у другого − 7 (все книги различны). Сколькими способами можно осуществить обмен двух книг на две книги?
Чтобы решить задачу об обмене книг между двумя книголюбами, давайте рассмотрим, сколько способов выбрать книги для обмена.
У первого книголюба есть 6 книг, а у второго — 7 книг. Мы хотим выбрать по 2 книги от каждого, чтобы произвести обмен.
Выбор книг у первого книголюба: Мы можем выбрать 2 книги из 6. Это можно сделать с помощью биномиальных коэффициентов, которые рассчитываются по формуле: \[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!} \] В нашем случае \(n = 6\) и \(k = 2\): \[ C(6, 2) = \frac{6!}{2!(6 - 2)!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15 \]
Выбор книг у второго книголюба: Теперь мы выбираем 2 книги из 7: \[ C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7 - 2)!} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21 \]
Общее количество способов обмена: Теперь, чтобы получить общее количество способов обмена двуми парами книг, нужно перемножить количество способов выбора книг у каждого книголюба: \[ \text{Общее количество способов} = C(6, 2) \times C(7, 2) = 15 \times 21 = 315 \]
Таким образом, существует 315 способов осуществить обмен двух книг на две книги между двумя книголюбами.
