С какой начальной скоростью и с каким ускорением движется материальная точка, если от начала отсчёта времени она прошла 56 м за 4 с и 110 м за 10 с?
Для решения этой задачи о движении материальной точки, давайте используем уравнения кинематики. Мы знаем, что путь \( S \) определяется формулой:
\[ S = S_0 + V_0 t + \frac{a t^2}{2}, \]
где:
- \( S \) — путь,
- \( S_0 \) — начальная позиция (в нашем случае \( S_0 = 0 \)),
- \( V_0 \) — начальная скорость,
- \( a \) — ускорение,
- \( t \) — время.
У нас есть две точки с данными о пройденном пути:
- За 4 секунды: \( S_1 = 56 \, \text{м} \)
- За 10 секунд: \( S_2 = 110 \, \text{м} \)
Теперь запишем два уравнения по этим данным.
- Для \( t = 4 \) с:
\[ 56 = V_0 \cdot 4 + \frac{a \cdot 4^2}{2} \]
- Для \( t = 10 \) с:
\[ 110 = V_0 \cdot 10 + \frac{a \cdot 10^2}{2} \]
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
- \( 56 = 4V_0 + 8a \) (разделив \( 4^2 \) на 2)
- \( 110 = 10V_0 + 50a \) (разделив \( 10^2 \) на 2)
Теперь выразим \( V_0 \) из первого уравнения:
\[ 4V_0 + 8a = 56 \] \[ 4V_0 = 56 - 8a \] \[ V_0 = 14 - 2a \tag{1} \]
Подставим (1) во второе уравнение:
\[ 110 = 10(14 - 2a) + 50a \] \[ 110 = 140 - 20a + 50a \] \[ 110 = 140 + 30a \] \[ 30a = 110 - 140 \] \[ 30a = -30 \] \[ a = -1 \, \text{м/с}^2 \]
Теперь подставим значение \( a \) в уравнение (1) для нахождения \( V_0 \):
\[ V_0 = 14 - 2(-1) \] \[ V_0 = 14 + 2 \] \[ V_0 = 16 \, \text{м/с} \]
Таким образом, начальная скорость \( V_0 = 16 \, \text{м/с} \) и ускорение \( a = -1 \, \text{м/с}^2 \). Это означает, что материальная точка движется с начальной скоростью 16 м/с и замедляется с ускорением 1 м/с².
