Баржа прошла по течению реки 32 км и, повернув обратно, прошла ещё 24 км, затратив на весь путь 4 часа. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5 км/ч.
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим собственную скорость баржи как \( v \) км/ч. Скорость баржи относительно берега будет зависеть от направления движения по течению и против течения.
Скорость баржи по течению: \[ v + 5 \text{ км/ч} \]
Скорость баржи против течения: \[ v - 5 \text{ км/ч} \]
Теперь найдем время, затраченное на каждую часть пути.
Время, затраченное на путь по течению (32 км): \[ t_1 = \frac{32}{v + 5} \]
Время, затраченное на путь против течения (24 км): \[ t_2 = \frac{24}{v - 5} \]
Согласно условию задачи, общее время пути составило 4 часа. Запишем уравнение: \[ t_1 + t_2 = 4 \] Подставим выражения для \( t_1 \) и \( t_2 \): \[ \frac{32}{v + 5} + \frac{24}{v - 5} = 4 \]
Теперь решим это уравнение. Умножим обе стороны уравнения на \((v + 5)(v - 5)\) (это снизит количество дробей): \[ 32(v - 5) + 24(v + 5) = 4(v + 5)(v - 5) \]
Раскроем скобки: \[ 32v - 160 + 24v + 120 = 4(v^2 - 25) \]
Соберем подобные слагаемые: \[ 56v - 40 = 4v^2 - 100 \]
Переносим все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \[ 4v^2 - 56v - 60 = 0 \]
Разделим все коэффициенты на 4 для упрощения: \[ v^2 - 14v - 15 = 0 \]
Теперь решаем полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 \]
Находим корни уравнения: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm 16}{2} \]
Таким образом, мы получаем два возможных значения:
- \( v = \frac{30}{2} = 15 \) км/ч
- \( v = \frac{-2}{2} = -1 \)
Поскольку скорость не может быть отрицательной, принимаем значение: \[ v = 15 \text{ км/ч} \]
Итак, собственная скорость баржи составляет 15 км/ч.
