2х/х-2 - х/х+2
Чтобы решить уравнение \( \frac{2x}{x-2} - \frac{x}{x+2} = 0 \), начнём с приведения его к общему знаменателю. Общим знаменателем для дробей будет произведение двух знаменателей: \( (x-2)(x+2) \).
Теперь перепишем каждую дробь с общим знаменателем:
\[ \frac{2x}{x-2} = \frac{2x(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{2x^2 + 4x}{(x-2)(x+2)} \]
\[ \frac{x}{x+2} = \frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{x^2 - 2x}{(x-2)(x+2)} \]
Теперь подставим эти выражения в первоначальное уравнение:
\[ \frac{2x^2 + 4x}{(x-2)(x+2)} - \frac{x^2 - 2x}{(x-2)(x+2)} = 0 \]
Так как у нас одинаковые знаменатели, мы можем их убрать, но нужно помнить, что \( (x-2)(x+2) \neq 0 \) (то есть \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \)). Теперь у нас остаётся:
\[ 2x^2 + 4x - (x^2 - 2x) = 0 \]
Упростим это:
\[ 2x^2 + 4x - x^2 + 2x = 0 \]
Сложим подобные члены:
\[ (x^2 + 6x) = 0 \]
Теперь вынесем \( x \) за скобки:
\[ x(x + 6) = 0 \]
Это уравнение дает два решения:
- \( x = 0 \)
- \( x + 6 = 0 \implies x = -6 \)
Теперь проверим исключённые значения: \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \), так что найденные решения \( x = 0 \) и \( x = -6 \) подходят.
Таким образом, окончательные решения уравнения:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = -6 \]
