Реши 6/1-2x + 9/2x+1 = 12x²-15/4x²-1

Чтобы решить уравнение \( \frac{6}{1-2x} + \frac{9}{2x+1} = \frac{12x^2 - 15}{4x^2 - 1} \), давайте начнем с приведения его всех частей к одному знаменателю.

Первым шагом будет упрощение правой части уравнения: \[ \frac{12x^2 - 15}{4x^2 - 1} = \frac{12x^2 - 15}{(2x-1)(2x+1)} \] Так как \( 4x^2 - 1 = (2x-1)(2x+1) \).

Теперь, давайте запишем уравнение с единым знаменателем. Сначала преобразуем левую часть уравнения:

• Для первого дробного слагаемого \( \frac{6}{1-2x} \) заменим \( 1 - 2x \) на \( -(2x - 1) \) для удобства.

Теперь уравнение можно выполнить следующие шаги:

1. Умножим и приведем оба дробных слагаемых к общему знаменателю: \[ \frac{6(2x+1) + 9(1-2x)}{(1-2x)(2x+1)} = \frac{12x^2 - 15}{(2x-1)(2x+1)} \]

2. Упростим левую часть: \[ 6(2x+1) + 9(1-2x) = 12x + 6 + 9 - 18x = -6x + 15 \] Таким образом, у нас получается: \[ \frac{-6x + 15}{(1-2x)(2x+1)} = \frac{12x^2 - 15}{(2x-1)(2x+1)} \]

3. Теперь можем исключить выражение \( (2x+1) \) из обоих частей (при условии, что \( 2x + 1 \neq 0 \)): \[ \frac{-6x + 15}{1-2x} = 12x^2 - 15 \]

4. Умножим обе стороны на \( 1 - 2x \): \[ -6x + 15 = (12x^2 - 15)(1 - 2x) \]

5. Разворачиваем правую часть: \[ -6x + 15 = 12x^2 - 15 - 24x^3 + 30x \]

6. Переносим все на одну сторону: \[ 24x^3 - 12x^2 - 36x + 0 = 0 \] или \[ 12x^2 - 36x + 15 = 0 \]

Теперь можно решить это квадратное уравнение. Делим на 3: \[ 4x^2 - 12x + 5 = 0 \]

Находим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64 \]

Теперь находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 8}{8} \]

Корни: \[ x_1 = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}, \quad x_2 = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \]

Итак, решения уравнения: \[ x_1 = \frac{5}{2}, \quad x_2 = \frac{1}{2} \]

Если у вас есть вопросы по разбору или другим темам, не стесняйтесь спрашивать!