реши х-3/х-2 + x-2/x-3 = 2,5
Чтобы решить уравнение \(\frac{x-3}{x-2} + \frac{x-2}{x-3} = 2,5\), давайте сначала упростим его.
Приведем уравнение к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \((x-2)(x-3)\).
Умножим обе стороны уравнения на \((x-2)(x-3)\), чтобы избавиться от дробей:
\[ (x-3)(x-3) + (x-2)(x-2) = 2,5(x-2)(x-3) \]
- Раскроем скобки:
\[ (x-3)^2 + (x-2)^2 = 2,5((x-2)(x-3)) \]
- Выражения \((x-3)^2\) и \((x-2)^2\) развиваем:
\[ (x^2 - 6x + 9) + (x^2 - 4x + 4) = 2,5(x^2 - 5x + 6) \]
- Объединим подобные члены:
\[ 2x^2 - 10x + 13 = 2,5(x^2 - 5x + 6) \]
- Умножим правую часть уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
\[ 2x^2 - 10x + 13 = 2,5x^2 - 12,5x + 15 \]
- Переносим все на одну сторону:
\[ 2x^2 - 10x + 13 - 2,5x^2 + 12,5x - 15 = 0 \]
Это упрощается до:
\[ -0,5x^2 + 2,5x - 2 = 0 \]
- Умножаем все уравнение на -2 для удобства:
\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]
- Теперь решим квадратное уравнение. Используем формулу дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]
- Так как дискриминант положительный, у нас две разные корня:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Итак, решения уравнения:
\[ x_1 = 4 \quad \text{и} \quad x_2 = 1 \]
Обратите внимание, что нужно проверить, что найденные корни не делают знаменатели в исходных дробях равными нулю. Для \(x=1\) и \(x=4\):
- \(x-2\) не равен нулю.
- \(x-3\) тоже не равен нулю.
Таким образом, корни \(x=4\) и \(x=1\) являются решениями.
