x²-16x+y²+2y+65=0
Чтобы решить уравнение \( x^2 - 16x + y^2 + 2y + 65 = 0 \), начнем с упрощения его путем выделения полного квадрата.
Выделение полного квадрата для \( x \): У нас есть \( x^2 - 16x \). Чтобы выделить полный квадрат, нужно взять половину коэффициента при \( x \) и возвести в квадрат: \[ -16 / 2 = -8 \quad \Rightarrow \quad (-8)^2 = 64 \] Таким образом, мы можем написать: \[ x^2 - 16x = (x - 8)^2 - 64 \]
Выделение полного квадрата для \( y \): Аналогично для \( y^2 + 2y \): \[ 2 / 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad 1^2 = 1 \] Значит: \[ y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1 \]
Подстановка в уравнение: Теперь подставим найденные полные квадраты в начальное уравнение: \[ (x - 8)^2 - 64 + (y + 1)^2 - 1 + 65 = 0 \]
Упрощаем уравнение: \[ (x - 8)^2 + (y + 1)^2 - 64 - 1 + 65 = 0 \] \[ (x - 8)^2 + (y + 1)^2 = 0 \]
Решение: Поскольку сумма квадратов равна нулю, каждый квадрат должен быть равен нулю: \[ (x - 8)^2 = 0 \quad \text{и} \quad (y + 1)^2 = 0 \] Это дает: \[ x - 8 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 8 \] \[ y + 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = -1 \]
Таким образом, единственное решение данного уравнения — точка \( (8, -1) \).
