x3+x2<-0

Чтобы решить неравенство \(x^3 + x^2 < 0\), начнем с преобразования его в более удобный вид.

1. Вынесем общий множитель:
   Мы можем вынести \(x^2\) из левой части неравенства: \[ x^2 (x + 1) < 0 \]

2. Определим нули:
   Теперь мы ищем, при каких значениях \(x^2\) и \(x + 1\) неравенство меньше нуля. Нули функции:

   • \(x^2 = 0\) дает \(x = 0\),
   • \(x + 1 = 0\) дает \(x = -1\).

3. Построим интервалы:
   Эти нули делят числовую ось на три интервала:

   • \( (-\infty, -1) \)
   • \( (-1, 0) \)
   • \( (0, +\infty) \)

4. Проверим знаки:
   Мы должны проверить знаки выражения \(x^2 (x + 1)\) на каждом из интервалов:

   • Интервал \((- \infty, -1)\): Пусть \(x = -2\): \[ (-2)^2(-2+1) = 4 \cdot (-1) = -4 < 0 \quad (\text{так, подходит}) \]
   • Интервал \((-1, 0)\): Пусть \(x = -0.5\): \[ (-0.5)^2(-0.5 + 1) = 0.25 \cdot 0.5 = 0.125 > 0 \quad (\text{не подходит}) \]
   • Интервал \((0, +\infty)\): Пусть \(x = 1\): \[ (1)^2(1 + 1) = 1 \cdot 2 = 2 > 0 \quad (\text{не подходит}) \]

5. Вывод:
   Единственный интервал, на котором неравенство выполняется, это \((- \infty, -1)\).

Таким образом, решение неравенства \(x^3 + x^2 < 0\) — это: \[ x \in (-\infty, -1) \]