X3+3x2<-0

Решим неравенство \( x^3 + 3x^2 < 0 \).

1. Найдем корни: Сначала можно вынести общий множитель из левой части неравенства. Заметим, что \( x^2 \) является общим множителем: \[ x^2(x + 3) < 0 \]

2. Определим нули функции: Уравнение \( x^2(x + 3) = 0 \) имеет два корня:

   • \( x^2 = 0 \) даёт корень \( x = 0 \)
   • \( x + 3 = 0 \) даёт корень \( x = -3 \)

3. Построим интервала: Теперь на числовой прямой определим интервалы, основываясь на найденных корнях:

   • Интервал \( (-\infty, -3) \)
   • Интервал \( (-3, 0) \)
   • Интервал \( (0, +\infty) \)

4. Проверим знаки: Теперь проверим знак выражения \( x^2(x + 3) \) на каждом интервале.

   • Для интервала \( (-\infty, -3) \): Выберем, например, \( x = -4 \): \[ (-4)^2(-4 + 3) = 16(-1) < 0 \]
   • Для интервала \( (-3, 0) \): Выберем, например, \( x = -1 \): \[ (-1)^2(-1 + 3) = 1(2) > 0 \]
   • Для интервала \( (0, +\infty) \): Выберем, например, \( x = 1 \): \[ (1)^2(1 + 3) = 1(4) > 0 \]

5. Соберем результаты: Мы видим, что неравенство выполняется на интервале \( (-\infty, -3) \).

6. Запишем ответ: Решением неравенства \( x^3 + 3x^2 < 0 \) является: \[ x \in (-\infty, -3) \]

Если есть дальнейшие вопросы или необходимо объяснить что-то еще, не стесняйтесь спрашивать!