диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна стороне AD и ровна 14 см. Найти площадь параллелограмма, если угол A равен 45°

Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, где диагональ BD перпендикулярна стороне AD и равна 14 см, а угол A равен 45°, давайте воспользуемся свойствами параллелограмма и некоторыми формулами.

1. Площадь параллелограмма \( S \) можно выразить через основание и высоту: \[ S = a \cdot h \] где \( a \) — длина основания (стороны AD), а \( h \) — высота.

2. Поскольку угол A равен 45°, это значит, что стороны AD и AB образуют угол 45°. При этом, так как BD перпендикулярна AD, высота параллелограмма будет равна длине стороны AD, умноженной на синус угла A.

3. Давайте обозначим сторону AD как \( a \). Поскольку угол A = 45°, высоту \( h \) можно выразить через сторону параллелограмма: \[ h = a \cdot \sin(45°) = a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

4. Путем замены в формуле площади получаем: \[ S = a \cdot h = a \cdot \left(a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{a^2 \sqrt{2}}{2} \]

5. Теперь обратим внимание на диагональ BD. Так как BD перпендикулярна AD, и мы можем рассмотреть треугольник ABD, где BD является гипотенузой: \[ BD^2 = AB^2 + AD^2 \] Используя длину диагонали BD = 14 см, получаем: \[ 14^2 = AB^2 + a^2 \] \[ 196 = AB^2 + a^2 \]

6. Теперь обратите внимание, что стороны AB и AD также связаны через угол 45°: \[ AB = a \] Так как угол A = 45°, это даст нам: \[ a^2 + a^2 = 196 \] \[ 2a^2 = 196 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 98 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \]

7. Подставим \( a = 7\sqrt{2} \) в формулу площади: \[ S = \frac{(7\sqrt{2})^2 \sqrt{2}}{2} = \frac{98 \sqrt{2}}{2} = 49\sqrt{2} \]

Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна \( 49\sqrt{2} \) квадратных сантиметров.