при каком наименьшем натуральном n найдется многочлен P(x) с целыми коэффицентами такой, что у него есть 8 различных целых корней и при этом уравнение P(x) = n имеет хотя бы одно…

Чтобы найти наименьшее натуральное число \( n \), для которого существует многочлен \( P(x) \) с целыми коэффициентами, имеющий 8 различных целых корней и чтобы уравнение \( P(x) = n \) имело хотя бы одно целое решение, давайте рассмотрим, что такое многочлен с целыми корнями.

Обозначим 8 различных целых корней многочлена \( P(x) \) как \( r_1, r_2, r_3, r_4, r_5, r_6, r_7, r_8 \). Тогда мы можем записать многочлен в следующем виде:

\[ P(x) = k(x - r_1)(x - r_2)(x - r_3)(x - r_4)(x - r_5)(x - r_6)(x - r_7)(x - r_8), \]

где \( k \) — целое число, которое умножает многочлен.

Теперь, чтобы \( P(x) = n \ имело хотя бы одно целое решение, необходимо, чтобы \( n \) было равно значению этого многочлена при каком-либо целочисленном \( x \). Поскольку многочлен имеет 8 различных корней, \( P(x) \) будет равен 0 при \( x = r_1, r_2, ..., r_8 \). Значит, \( P(x) \) изменяет знак между этими корнями и, следовательно, может принимать любые натуральные значения \( n \), достаточно выбрать \( n \) так, чтобы оно было при определённом \( x \).

Для выбора наименьшего натурального \( n \), обратим внимание на значение \( P(x) \) в точке, которая находится между корнями. Например, если мы выберем \( r_1 \) и \( r_2 \), где \( r_1 < r_2 \), мы можем исследовать значение функцию \( P \) в среднее значение между ними.

Основная идея заключается в том, чтобы выбрать \( k = 1 \) и значения корней так, чтобы \( P(x) \) при некотором \( x \) принимало хотя бы 1. Например, если корни равны \( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 \), то:

\[ P(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 6)(x - 7)(x - 8). \]

Значение \( n = 1 \) будет получено, когда выберем значение \( x \) чуть больше 4. Теперь, проверив, что \( k = 1 \) и что в определенной точке \( P(x) \) принимает целое значение \( n \), например, \( n = 1 \).

Таким образом, наименьшее натуральное число \( n \), при котором найдется нужный многочлен, равняется 1.