1.. Какие числа называются натуральными? Какое обозначение введено для множества натуральных чисел? 2. Какие числа входят в множество целых чисел? Какое обозначение принято для…

Натуральные числа — это положительные целые числа, которые используются для счёта. Они начинаются с 1 и продолжаются до бесконечности: 1, 2, 3, 4, и так далее. Обозначение множества натуральных чисел — N.

В множество целых чисел входят положительные и отрицательные натуральные числа, а также ноль. То есть это числа вида ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... Обозначение множества целых чисел — Z.

Множество рациональных чисел включает все числа, которые могут быть представлены в виде дроби \(\frac{a}{b}\), где \(a\) — целое число, а \(b\) — положительное целое число. Обозначение для этого множества — Q.

Основные законы действий над рациональными числами включают:

• Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c); (a * b) * c = a * (b * c)
• Коммутативность: a + b = b + a; a * b = b * a
• Дистрибутивность: a * (b + c) = a * b + a * c
• Наличие нейтрального элемента: a + 0 = a; a * 1 = a
• Существование обратного элемента: a + (-a) = 0; a * (1/a) = 1 (где a ≠ 0).

Обыкновенные дроби, которые обращаются в конечные десятичные, имеют в дробной части только такие множители, как 2 и 5. Например, дроби \(\frac{1}{2}\), \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{3}{10}\).

Обыкновенные дроби, которые выражаются только приближенными десятичными, имеют в знаменателе более сложные множители, не равные 2 и 5. К примеру, дробь \(\frac{1}{3}\) выражается в виде приближенной десятичной \(0.333...\).

Бесконечные периодические десятичные дроби — это дроби, у которых после запятой начинается повторяющаяся последовательность цифр, например, \(0.333...\) или \(0.142857142857...\).

Периодом бесконечной периодической десятичной дроби называется короткий участок цифр, который повторяется. Например, в дроби \(0.666...\) периодом является «6».

Чистые периодические дроби содержат только период, например, \(0.777...\) (незапятой перед периодом). Смешанные периодические дроби имеют конечную часть перед периодом, например, \(0.5\overline{27}\) (где 27 повторяется бесконечно).

Целые числа и конечные десятичные дроби могут быть записаны в виде бесконечных периодических дробей с помощью добавления периодической части состоящей из нулей. Например, \(2\) может быть записано как \(2.000...\).

Да, любая бесконечная периодическая десятичная дробь является рациональным числом, так как её можно представить в виде дроби.

Для обращения чистой периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь, можно использовать формулу: \(x = 0.\overline{a}\) => \(10^n x = a + x\), решив уравнение, можно найти дробь.

Для обращения смешанной периодической дроби в обыкновенную дробь, учитывается и конечная часть, и период. Например, \(x = a.bc\overline{d}\) => \(10^m x = a.bcd + x\), откуда находят дробь.

Исключение представляет собой случай, когда период — 9. Например, \(0.999...\) равно \(1\).

Иррациональными называются числа, которые не могут быть представлены в виде дроби. Они обозначаются множеством R \ Q (где R — множество действительных чисел, а Q — рациональные числа).

Доказательство того, что не существует числа, квадрат которого равен 2, основано на методе от противного. Предположим, что такое число есть, его можно представить в виде \(\frac{a}{b}\) (с наименьшими a и b). Поскольку 2 — это нечетное, a и b не могут иметь общего делителя, что приводит к противоречию.

Действительными называются все числа, которые включают как рациональные, так и иррациональные. Обозначение для множества действительных чисел — R.

Множество действительных чисел обладает свойствами, такими как полнота, непрерывность и наличие верхнего и нижнего предела.

Числовая прямая — это бесконечная прямая, на которой каждое вещественное число соответствует одной точке. Числовая прямая служит для визуализации расположения чисел и их свойств.