Решите уравнение: x³ - 2x² - 5X + 6 = 0

Для решения уравнения \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0\) можно использовать метод подбора корней или теорему Виета.

1. Попробуем найти рациональные корни, используя теорему Рациональности. Проверим значения, начиная с целых чисел. Подставим \(x = 1\):

\[ 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 1 - 2 - 5 + 6 = 0 \]

Таким образом, \(x = 1\) является корнем уравнения.

2. Теперь, зная корень \(x = 1\), можем разложить многочлен на множители. Используем деление многочлена:

\[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(Ax^2 + Bx + C) \]

При проведении деления (либо используя синтетическое деление) получаем:

\[ x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 1)(x^2 - x - 6) \]

3. Теперь нам нужно решить квадратное уравнение \(x^2 - x - 6 = 0\). Это уравнение можно решить по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -6\). Подставляем значения:

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{1 \pm 5}{2} \]

Таким образом, получаем два корня:

\[ x_1 = \frac{6}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-4}{2} = -2 \]

4. В итоге, все корни уравнения \(x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0\) следующие:

\[ x = 1, \quad x = 3, \quad x = -2 \]

Таким образом, уравнение имеет три корня: \(x = 1\), \(x = 3\), и \(x = -2\).