в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С внешний угол при вершине А равен 120,Ас+АВ=18 Найдите Ас и Ав В ответ запишите разность АС-АВ

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( C \) и внешним углом при вершине \( A \), равным 120°, можно использовать свойства углов и теоремы о прямоугольных треугольниках для решения задачи.

1. Находим угол \( A \). Поскольку внешний угол при вершине \( A \) равен 120°, то внутренний угол \( A \) равен: \[ \angle A = 180° - 120° = 60°. \] Таким образом, у нас есть еще один угол \( B \): \[ \angle B = 90° - \angle A = 90° - 60° = 30°. \]

2. Обозначим стороны. Пусть:

   • \( AC = b \) (катет, противолежащий углу \( B \)),
   • \( AB = a \) (катет, противолежащий углу \( A \)).

   По условию, \( AC + AB = b + a = 18 \).

3. Используем соотношения в треугольнике. В прямоугольном треугольнике со сторонами, противолежащими углам 30° и 60°: \[ \frac{b}{a} = \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow b = \frac{a}{\sqrt{3}}. \]

4. Подставим значение. Теперь подставим это выражение в уравнение \( b + a = 18 \): \[ \frac{a}{\sqrt{3}} + a = 18. \] Объединим слагаемые: \[ a \left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 18. \]

5. Решим уравнение для \( a \): \[ a \left(\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}\right) = 18 \Rightarrow a = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}. \]

6. Теперь найдем \( b \): \[ b = 18 - a = 18 - \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{18(\sqrt{3} + 1) - 18\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{18}{\sqrt{3} + 1}. \]

7. Теперь найдем разность \( AC - AB \) или \( b - a \): \[ AC - AB = b - a = \frac{18}{\sqrt{3} + 1} - \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{18(1 - \sqrt{3})}{\sqrt{3} + 1}. \]

Таким образом, окончательная разность \( AC - AB \): \[ AC - AB = \frac{18(1 - \sqrt{3})}{\sqrt{3} + 1}. \]

Это и есть искомая разность \( AC - AB \).