ЗАДАНИЕ 8. Даны вектора a(4; 1; 2), b(3; 0; 1),c( -5; -2; 4). Найдите координаты и длины пекторов: 1) 3a+b 2) 2b-c 3) -3а -b +5c
Давайте решим ваше задание шаг за шагом. Находить координаты векторов, а также их длины не так сложно, если следовать определённым шагам.
Даны векторы:
- a = (4; 1; 2)
- b = (3; 0; 1)
- c = (-5; -2; 4)
1) Находим координаты вектора \(3a + b\):
Сначала умножим вектор a на 3: \[ 3a = 3 \cdot (4; 1; 2) = (12; 3; 6) \]
Теперь добавим вектор b: \[ 3a + b = (12; 3; 6) + (3; 0; 1) = (12 + 3; 3 + 0; 6 + 1) = (15; 3; 7) \]
Координаты вектора \(3a + b\) = (15; 3; 7).
Длина вектора \(3a + b\):
Для нахождения длины вектора используем формулу: \[ ||v|| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \] где \(v = (x; y; z)\).
Таким образом: \[ ||3a + b|| = \sqrt{15^2 + 3^2 + 7^2} = \sqrt{225 + 9 + 49} = \sqrt{283} \]
2) Находим координаты вектора \(2b - c\):
Сначала умножим вектор b на 2: \[ 2b = 2 \cdot (3; 0; 1) = (6; 0; 2) \]
Теперь вычтем вектор c: \[ 2b - c = (6; 0; 2) - (-5; -2; 4) = (6 + 5; 0 + 2; 2 - 4) = (11; 2; -2) \]
Координаты вектора \(2b - c\) = (11; 2; -2).
Длина вектора \(2b - c\):
\[ ||2b - c|| = \sqrt{11^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{121 + 4 + 4} = \sqrt{129} \]
3) Находим координаты вектора \(-3a - b + 5c\):
Сначала умножим вектор a на -3 и вектор c на 5: \[ -3a = -3 \cdot (4; 1; 2) = (-12; -3; -6) \] \[ 5c = 5 \cdot (-5; -2; 4) = (-25; -10; 20) \]
Теперь складываем: \[ -3a - b + 5c = (-12; -3; -6) - (3; 0; 1) + (-25; -10; 20) \] Сначала вычислим \(-3a - b\): \[ -3a - b = (-12; -3; -6) - (3; 0; 1) = (-12 - 3; -3 - 0; -6 - 1) = (-15; -3; -7) \]
Теперь добавим \(5c\): \[ -15; -3; -7) + (-25; -10; 20) = (-15 - 25; -3 - 10; -7 + 20) = (-40; -13; 13) \]
Координаты вектора \(-3a - b + 5c\) = (-40; -13; 13).
Длина вектора \(-3a - b + 5c\):
\[ ||-3a - b + 5c|| = \sqrt{(-40)^2 + (-13)^2 + 13^2} = \sqrt{1600 + 169 + 169} = \sqrt{1938} \]
Результаты:
- \(3a + b\): координаты = (15; 3; 7), длина = \(\sqrt{283}\).
- \(2b - c\): координаты = (11; 2; -2), длина = \(\sqrt{129}\).
- \(-3a - b + 5c\): координаты = (-40; -13; 13), длина = \(\sqrt{1938}\).
Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более подробное разъяснение, обращайтесь!
