прямая y = 2x+37 является касательной к графику функции y = x³+3x²-7x+10. найдите абциссу точки касания.
Чтобы найти абсциссу точки касания прямой \(y = 2x + 37\) и графика функции \(y = x^3 + 3x^2 - 7x + 10\), нужно выполнить несколько шагов.
Найти производную функции. Производная показывает наклон касательной к графику функции в данной точке. Найдем производную функции \(y = x^3 + 3x^2 - 7x + 10\):
\[ y' = 3x^2 + 6x - 7 \]
Записать уравнение для наклона. Поскольку прямая является касательной, ее наклон должен совпадать с наклоном функции в точке касания. Таким образом,
\[ 3x^2 + 6x - 7 = 2 \]
Это уравнение необходимо решить для нахождения абсциссы \(x\).
Переносим 2 влево:
\[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \]
Упростим уравнение, разделив все на 3:
\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\):
\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]
Найдем корни уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]
Это дает два значения:
\[ x_1 = \frac{2}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Теперь мы определили возможные абсциссы касательных точек: \(x_1 = 1\) и \(x_2 = -3\). Нужно проверить, является ли каждая из найденных точек касательной. Подставим полученные значения \(x\) в уравнение функции и уравнение прямой, чтобы определиться с точками касания.
Для \(x = 1\):
\[ y = 2(1) + 37 = 39 \] \[ y = 1^3 + 3(1^2) - 7(1) + 10 = 1 + 3 - 7 + 10 = 7 \]
Для \(x = -3\):
\[ y = 2(-3) + 37 = 31 \] \[ y = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 7(-3) + 10 = -27 + 27 + 21 + 10 = 31 \]
Сравниваем значения:
Точка \(x = -3\) дает совпадение: \(y = 31\). Точка \(x = 1\) не совпадает, значит, это не точка касания.
Таким образом, абсцисса точки касания \(x = -3\).
