Метод интервалов решить неравенство

Привет! Давай решим это неравенство вместе. У нас есть неравенство:

\[ x (5 - x)(6 - x) \leq 0 \]

Мы будем использовать метод интервалов для его решения. Вот пошаговое решение:

1. Найдем нули каждой из функций, которые стоят в произведении:

   • x = 0
   • 5 - x = 0, отсюда x = 5
   • 6 - x = 0, отсюда x = 6

2. Разделим числовую прямую на интервалы, используя найденные значения:

   • (-∞, 0)
   • (0, 5)
   • (5, 6)
   • (6, +∞)

3. Определим знаки на каждом из интервалов:

   • Для интервалов (-∞, 0), (0, 5), (5, 6), (6, +∞):
     • Выбираем тестовые точки из каждого интервала (например, -1, 1, 5.5, 7) и подставляем в выражение \( x (5 - x) (6 - x) \):
       • Точка -1: (-1)(5 - (-1))(6 - (-1)) → (-1)(6)(7) = -42 (отрицательное)
       • Точка 1: (1)(5 - 1)(6 - 1) → (1)(4)(5) = 20 (положительное)
       • Точка 5.5: (5.5)(5 - 5.5)(6 - 5.5) → (5.5)(-0.5)(0.5) = -1.375 (отрицательное)
       • Точка 7: (7)(5 - 7)(6 - 7) → (7)(-2)(-1) = 14 (положительное)

4. Нам нужно определить, когда выражение меньше либо равно нулю. Знаки меняются на границах интервалов (0, 5 и 6). Значения на этих точках проверим отдельно:

   • x = 0 → (0)(5-0)(6-0) = 0 (равно нулю, подходит)
   • x = 5 → (5)(5-5)(6-5) = 0 (равно нулю, подходит)
   • x = 6 → (6)(5-6)(6-6) = 0 (равно нулю, подходит)

Следовательно, решение:

\[ x \in [-\infty, 0] \cup [5, 6] \]

Вот и всё! Надеюсь, теперь понятно, как решать неравенства методом интервалов!