если квадратый трёхчлен ax² + bx + c имеет единственный корень x0, то ax² + bx + c = a (x - x0)²

Если квадратный трёхчлен \( ax^2 + bx + c \) имеет единственный корень \( x_0 \), это означает, что у него кратность корня равна двум. В этом случае мы можем записать его в факторизованной форме.

Форма \( ax^2 + bx + c = a (x - x_0)^2 \) действительно верна. Давайте разберемся, почему это так.

1. Кратный корень: Если у квадратного уравнения есть единственный корень \( x_0 \), это связано с тем, что дискриминант этого уравнения равен нулю. Дискриминант \( D \) для уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) определяется как \( D = b^2 - 4ac \). Если \( D = 0 \), то у уравнения есть единственный корень.

2. Факторизация: Уравнение можно записать в виде: \[ ax^2 + bx + c = a \left( x - x_0 \right)^2 \] где \( x_0 \) – это тот единственный корень. При раскрытии скобок получаем: \[ a \left( x - x_0 \right)^2 = a \left( x^2 - 2x_0x + x_0^2 \right) = ax^2 - 2ax_0 + ax_0^2 \] Если теперь мы приравняем коэффициенты, то удобнее подставить \( b \) и \( c \) из начального трёхчлена:

   • \( b = -2ax_0 \)
   • \( c = ax_0^2 \)

Таким образом, мы подтверждаем, что форма \( ax^2 + bx + c = a (x - x_0)^2 \) корректна для квадратных уравнений с единственным корнем.

Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими темами, всегда рад помочь!