Одно число больше другого на 4, а их произведение равно 140. Найдите эти числа. Произведение двух последовательных натуральных чисел на 181 больше их суммы. Найдите эти числа.
Давайте разберём обе задачи по порядку.
Первая задача:
Одно число больше другого на 4, а их произведение равно 140. Обозначим первое число как \( x \), а второе как \( y \). Из условия имеем:
- \( x = y + 4 \)
- \( x \cdot y = 140 \)
Теперь подставим первое уравнение во второе:
\[ (y + 4) \cdot y = 140 \]
Раскроем скобки:
\[ y^2 + 4y = 140 \]
Переносим 140 в левую часть:
\[ y^2 + 4y - 140 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \( D \) вычисляется по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Где \( a = 1 \), \( b = 4 \), и \( c = -140 \):
\[ D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-140) = 16 + 560 = 576 \]
Теперь найдём корни уравнения:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 24}{2} \]
Решения:
- \( y = \frac{20}{2} = 10 \)
- \( y = \frac{-28}{2} = -14 \) (отрицательное, не подходит)
Теперь подставим \( y = 10 \) в первое уравнение:
\[ x = 10 + 4 = 14 \]
Таким образом, числа: 10 и 14.
Вторая задача:
Произведение двух последовательных натуральных чисел на 181 больше их суммы. Обозначим первое число как \( n \), тогда второе будет \( n + 1 \). Составим уравнение:
\[ n(n + 1) = n + (n + 1) + 181 \]
Упростим правую часть:
\[ n(n + 1) = 2n + 1 + 181 \] \[ n(n + 1) = 2n + 182 \]
Переносим всё в одну сторону:
\[ n^2 + n - 2n - 182 = 0 \] \[ n^2 - n - 182 = 0 \]
Теперь снова используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-182) = 1 + 728 = 729 \]
Теперь найдём корни:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 27}{2} \]
Решения:
- \( n = \frac{28}{2} = 14 \)
- \( n = \frac{-26}{2} = -13 \) (отрицательное, не подходит)
Таким образом, \( n = 14 \) и следовательно второе число:
\[ n + 1 = 15 \]
Ответ для второй задачи: 14 и 15.
В итоге, решения обеих задач:
- Числа 10 и 14.
- Числа 14 и 15.
