Прямая y=2x+37 является касательной к графику функции y=x³+3x²-7x+10. Найдите абциссу точки касания.
Чтобы найти абсциссу точки касания прямой \( y = 2x + 37 \) и графика функции \( y = x^3 + 3x^2 - 7x + 10 \), сначала найдем производную данной функции, чтобы определить её наклон.
Найдем производную функции \( y = x^3 + 3x^2 - 7x + 10 \): \[ y' = 3x^2 + 6x - 7 \]
Приравняем производную функции к наклону касательной, который равен 2, так как прямая задана уравнением \( y = 2x + 37 \): \[ 3x^2 + 6x - 7 = 2 \]
Упрощаем уравнение: \[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \] Разделим все коэффициенты на 3: \[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение с использованием формулы: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \] Здесь \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -3 \): \[ x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-2 \pm \sqrt{{4 + 12}}}}{2} = \frac{{-2 \pm \sqrt{16}}}{2} \] \[ x = \frac{{-2 \pm 4}}{2} \]
Это дает нам два корня: \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{{-6}}{2} = -3 \]
Теперь нам нужно найти координаты точки касания. Проверим, какая из них соответствует прямой касательной. Подставим оба значения \( x \) в уравнение прямой \( y = 2x + 37 \):
- Для \( x = 1 \): \[ y = 2(1) + 37 = 39 \]
- Для \( x = -3 \): \[ y = 2(-3) + 37 = 31 \]
Подставим найденные значения \( x \) в уравнение функции:
- Для \( x = 1 \): \[ y = 1^3 + 3(1)^2 - 7(1) + 10 = 1 + 3 - 7 + 10 = 7 \]
- Для \( x = -3 \): \[ y = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 7(-3) + 10 = -27 + 27 + 21 + 10 = 31 \]
Мы видим, что точка касания находится при \( x = -3 \), так как \( y \) для этого значения совпадает с \( y \) для наклонной прямой.
Таким образом, абсцисса точки касания равна \( x = -3 \).
